討論:線性微分方程

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常係數齊次線性全微分方程

常係數齊次線性全微分方程

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+A_{1}{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +A_{n}y=0$，

它的解取決於以下的特徵方程：

$F(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots +A_{n}=0$，

上式中$z^{n}\,$取代了: ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}\quad \quad (n=1,2,\cdots ,n)$。

$y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0$，

有以下特徵方程

$z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-2z+1=0$，

它有$i,-i,1,1\,$四個解，解基為：

$e^{ix},e^{-ix},e^{x},xe^{x}$，

這和以下實數解基相對應：

$\cos x,\sin x,e^{x},xe^{x}$，

如果$z\,$（很可能不是實數）是$F(z)\,$的根，且$n\in \{0,1,\dots ,m-1\}\,$（其中$m\,$表示根z的重數），那麼$y=x^{n}e^{zx}\,$是微分方程的一個解。這些方程組成了這個微分方程的基.

如果$A^{i}\,$是實數，那麼我們更喜歡得到實數解。因為非實數$z\,$值會引入共軛對, $y$的情況也類似;將原來各對替換為它們實值部分$Re(y)$和虛值部分$Im(y)$的線性組合.

復根的情況可以應用歐拉公式來解決：

• 例如：對於$y''-4y'+5y=0\,$.特徵方程是$z^{2}-4z+5=0\,$有以下幾個根$2+i$ and $2-i$.因此，解基$\{y_{1},y_{2}\}$為$\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\}\,$. y是根當且僅當$y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\,$；$c_{1},c_{2}\in \mathbb {C}$，

因為係數是實數

• 我們對複數表達式不太感興趣;
• 我們的基是共軛表達式。

以下線性組合

$u_{1}={\mbox{Re}}(y_{1})={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}=e^{2x}\cos(x)\,$和

$u_{2}={\mbox{Im}}(y_{1})={\frac {y_{1}-y_{2}}{2i}}=e^{2x}\sin(x)$，

可以給我們關於$\{u_{1},u_{2}\}\,$的實數表達式。 --Wolfch (留言) _動員令 2012年8月10日 (五) 14:55 (UTC)