定义在环形上的拉普拉斯方程上的一个解。拉普拉斯算子是椭圆算子的最有名的一个例子。
椭圆算子是数学偏微分方程理论中的一类微分算子,它是拉普拉斯算子的泛化。椭圆算子定义为所有最高阶导数的系数为正的微分算子,这意味着算子没有实的特征方向。
椭圆算子是典型的位势论,并且它们频繁地出现在静电学和连续介质力学中。椭圆算子的正则性意味着它的解通常是光滑函数(如果算子的系数是光滑的)。双曲方程和抛物方程的稳定解通常要求解椭圆方程。
域
上的线性微分算子
被称为椭圆算子,如果对任意
,任意非零
满足
。
在许多应用中仅满足上述条件还远远不够,当
时可用一致椭圆条件代替它:
其中C是正常数。注意到椭圆性只依赖于最高阶项。
非线性算子
是椭圆算子如果它关于
的一阶泰勒展开式在任意一点处都是线性椭圆算子。
实例:二阶算子[编辑]
为了说明问题,我们选取二阶偏微分算子形式,
![{\displaystyle P\phi =\sum _{k,j}a_{kj}D_{k}D_{j}\phi +\sum _{\ell }b_{\ell }D_{\ell }\phi +c\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55baf44c5304b93cd8215cd0df091671ccd4ba23)
其中
.如果满足高阶项系数矩阵x
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\cdots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\cdots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\cdots &a_{nn}(x)\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ebe767275d6febf7e290fa89fb9e5e98a0f7eb9)
为正定实系数对称矩阵,则这样的算子叫做椭圆算子。